Analysis‑Aufgabe – Ladevorgang eines E‑Bike‑Akkus (Logistisches Modell)

Calculus Problem – Charging an E‑Bike Battery (Logistic Model)

Aufgabenstellung

Problem Statement

1. Sättigung
   Der Ladezustand sei durch die Funktion $$L(t)=\frac{100}{1+8\,e^{-0.12t}},\;0\le t\le90$$ (\(t\) in Minuten, \(L\) in %).
   
   1. Zeigen Sie, dass der Akku eine Sättigungsladung besitzt, und bestimmen Sie deren Wert.
   2. Interpretieren Sie die Zahl 8 im Modell.
2. Momentane Ladegeschwindigkeit
   1. Leiten Sie $$L'(t)$$ ab, bestimmen Sie die maximale Ladegeschwindigkeit $v_{\max}$ (in %/min) sowie den Zeitpunkt $t_{\max}$.
   2. Begründen Sie, warum $t_{\max}$ zugleich der Wendepunkt des Graphen von $L$ ist.
3. Praxisrelevante Kennzahlen
   1. Nach welcher Zeit $t_{80}$ sind 80 % Ladung erreicht?
   2. Die Ladeelektronik reduziert die Leistung, sobald $L'(t)<0.8$ ist. Bestimmen Sie den Zeitpunkt $t_{\text{Limit}}$.
4. Durchschnittliche Ladegeschwindigkeit
   Bestimmen Sie die mittlere Ladegeschwindigkeit im Intervall $[10,40]$ Minuten.
5. Energie‑Effizienz‑Index (optional)
   Begründen Sie qualitativ, warum der Energieverbrauch pro zusätzlich geladenem Prozentpunkt bei hohen Füllständen stark ansteigt.

1. Saturation
   The state of charge is modelled by $$L(t)=\frac{100}{1+8\,e^{-0.12t}},\;0\le t\le90$$ (\(t\) in minutes, \(L\) in %).
   
   1. Show that the battery reaches a saturation level and determine its value.
   2. Interpret the constant 8 in the model.
2. Instantaneous charging rate
   1. Differentiate $L$ to find $$L'(t)$$, then obtain the maximal charging rate $v_{\max}$ (in %/min) and the time $t_{\max}$ at which it occurs.
   2. Explain why $t_{\max}$ is also the point of inflection of the graph of $L$.
3. Practical key figures
   1. After what time $t_{80}$ is the battery 80 % charged?
   2. The charger throttles once $L'(t)<0.8$. Determine the corresponding time $t_{\text{Limit}}$.
4. Average charging rate
   Compute the average charging rate on the interval $[10,40]$ minutes.
5. Energy‑efficiency index (optional)
   Using qualitative reasoning, explain why the energy consumption per additional percent of charge rises sharply at high state‑of‑charge levels.

Musterlösung (Kurzfassung)

Sample Solution (Concise)

1. Sättigung
   $$\lim_{t\to\infty}L(t)=100.$$ Damit beträgt die maximale Ladung 100 %.
   Die 8 ist $$\frac{L_{\max}}{L(0)}-1$$; anfangs sind $$L(0)=11.1\,\%$$ geladen.
2. Ladegeschwindigkeit
   $$L'(t)=\frac{96\,e^{-0.12t}}{\bigl(1+8e^{-0.12t}\bigr)^2}.$$
   Maximum bei $$e^{-0.12t}=\frac{1}{\sqrt{8}}\;\Rightarrow\;t_{\max}\approx10.4\,\text{min},$$ $$v_{\max}\approx2.8\,\%/\text{min}.$$
   Da $$L''(t_{\max})=0$$ mit Vorzeichenwechsel, liegt ein Wendepunkt vor.
3. Kennzahlen
   80 %‑Marke: $$t_{80}\approx25.5\,\text{min}.$$
   Leistungs‑Limit: $$L'(t)=0.8\;\Rightarrow\;t_{\text{Limit}}\approx42.3\,\text{min}.$$
4. Mittlere Geschwindigkeit
   $$\bar v=\frac{L(40)-L(10)}{40-10}\approx\frac{71.5-30.5}{30}\approx1.37\,\%/\text{min}.$$
5. Energie‑Effizienz
   Da $$L'\rightarrow0$$ für $$t\to\infty$$, steigt die benötigte Energie pro Prozentpunkt bei großem $L$ stark an (verlangsamtes Laden).

1. Saturation
   $$\lim_{t\to\infty}L(t)=100,$$ so the battery tops out at 100 %.
   The factor 8 equals $$\tfrac{L_{\max}}{L(0)}-1$$; initially $$L(0)=11.1\,\%. $$
2. Charging rate
   $$L'(t)=\frac{96\,e^{-0.12t}}{\bigl(1+8e^{-0.12t}\bigr)^2}.$$
   Max when $$e^{-0.12t}=1/\sqrt{8}\;\Rightarrow\;t_{\max}\approx10.4\,\text{min},$$ $$v_{\max}\approx2.8\,\%/\text{min}.$$
   Since $$L''(t_{\max})=0$$ and changes sign, this is an inflection point.
3. Key figures
   80 % charge: $$t_{80}\approx25.5\,\text{min}.$$
   Throttle point: $$L'(t)=0.8\;\Rightarrow\;t_{\text{Limit}}\approx42.3\,\text{min}.$$
4. Average rate
   $$\bar v=\frac{L(40)-L(10)}{30}\approx1.37\,\%/\text{min}.$$
5. Energy efficiency
   Because $$L'\to0$$ as $$t\to\infty,$$ each extra percent requires increasingly more energy at high state of charge.