Der Satz des Pythagoras

Udo Rehle

Der Satz des Pythagoras ist wohl der bekannteste Lehrsatz der Schulgeometrie. Auf ihm gründen viele weitere Ergebnisse der euklidischen Geometrie. Es existieren über tausend verschiedene Beweise – dennoch verdeutlichen die üblichen Schulbeispiele selten, warum die Summe der Kathetenquadrate exakt der Fläche des Hypotenusenquadrats entspricht. Ein einleuchtender Beweis ist jedoch überraschend kurz:

Ein rechtwinkliges Dreieck lässt sich als Hälfte eines Rechtecks auffassen, das durch seine Diagonale halbiert wurde.

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

Das rechtwinklige Dreieck wird durch seine Höhe in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke zerlegt, die dem Ausgangsdreieck ähnlich sind. Klappt man das Ausgangsdreieck um die Hypotenuse c und die beiden Teildreiecke um ihre jeweilige anliegende Kathete (Abb. 1), so gilt offensichtlich: Die Flächensumme der beiden Katheten‑Dreiecke ist genau die Fläche des Hypotenusen‑Dreiecks – also des Ausgangsdreiecks.

Rechtwinkliges Dreieck mit eingezeichneter Höhe — Abb. 1 – Rechtwinkliges Dreieck und Höhe

Gilt das für ein Tripel ähnlicher Figuren, gilt es für alle ähnlich aufgesetzten Figuren (vgl. Beutelspacher – "ähnliche Kaninchen"). Daher erfüllt auch jedes aufgesetzte Quadrat diese Summenregel: Alle Quadrate sind einander ähnlich.

Wer lieber mit Zahlenverhältnissen argumentiert, berechnet die Ähnlichkeitsfaktoren der beiden Teildreiecke über das Verhältnis der Hypotenusen:

Grafik zu Flächenverhältnissen der umgeklappten Dreiecke — Abb. 2 – Flächenverhältnisse der umgeklappten Dreiecke

Die Faktoren lauten $k_{1}=\tfrac{a}{c}$ und $k_{2}=\tfrac{b}{c}$. Für ähnliche Figuren ist das Flächenverhältnis das Quadrat des Streckungsfaktors; somit gilt

$$k_{1}^{2} = \left(\tfrac{a}{c}\right)^{2},\qquad k_{2}^{2} = \left(\tfrac{b}{c}\right)^{2}$$

Addiert man die beiden Teilflächen erhält man die Gesamtfläche $A$ – und nach Kürzen genau $$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

Auf einer Kugeloberfläche existieren dagegen keine ähnlichen Figuren; rechtwinklige Kugeldreiecke können etwa eine Winkelsumme von $270^{\circ}$ besitzen. Dort gilt statt des Pythagoras ein Kosinussatz der sphärischen Geometrie. In allen nicht‑euklidischen Geometrien gibt es daher keinen Pythagoras!

Udo Rehle

The Pythagorean Theorem

The Pythagorean theorem is arguably the most famous proposition in school geometry. Many other results in Euclidean geometry rely on it. More than a thousand different proofs are known – yet standard classroom proofs rarely reveal why the sum of the areas of the squares on the legs equals the area of the square on the hypotenuse. A convincing proof is surprisingly short:

A right triangle can be viewed as half of a rectangle cut by its diagonal.

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

Dropping the altitude onto the hypotenuse divides the triangle into two smaller right triangles similar to the original one. Fold the big triangle along the hypotenuse c and the two small ones along their respective legs (Fig. 1). Obviously the sum of the areas of the two smaller triangles equals the area of the large triangle.

Right triangle with altitude drawn — Fig. 1 – Right triangle and altitude

What holds for one set of similar triangles holds for any set of similar attached figures – even for Beutelspacher’s famous "similar rabbits". Since all squares are similar, the same sum rule applies to squares.

Graphic of the area ratios of the folded triangles — Fig. 2 – Area ratios of the folded triangles

Numerically, use the similarity ratios of the two small triangles: $k_{1}=\tfrac{a}{c}$, $k_{2}=\tfrac{b}{c}$. The ratio of areas of similar figures is the square of the scale factor, hence

$$k_{1}^{2}=\left(\tfrac{a}{c}\right)^{2},\qquad k_{2}^{2}=\left(\tfrac{b}{c}\right)^{2}$$

Adding both parts yields the total area $A$, which simplifies to $$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

On a spherical surface, however, no similar figures exist; right spherical triangles may have an angle sum of $270^{\circ}$. Instead of the Pythagorean theorem, a spherical law of cosines holds. Thus, outside Euclidean geometry there is no Pythagorean theorem.