Der Nagelpunkt eines Dreiecks

Der Nagelpunkt (engl. Nagel point, ETC Nr. X(8)) ist ein klassisches Dreieckszentrum, das mit den Exkreisen des Dreiecks verknüpft ist. Er wurde 1836 vom deutschen Geometer Christian Heinrich von Nagel beschrieben. In diesem Artikel lernst du Definition, Konstruktion, Koordinaten und bemerkenswerte Eigenschaften des Punktes kennen.

1  Definition

Seien $T_a,T_b,T_c$ die Berührpunkte der drei Exkreise mit den Seiten $BC,CA,AB$ des Dreiecks $\triangle ABC$. Die Linien $AT_a,\;BT_b,\;CT_c$ schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt – dem Nagelpunkt $Na$. Formal in trilinearen Koordinaten

$Na\;=\;\bigl(\tfrac1{s-a}:\tfrac1{s-b}:\tfrac1{s-c}\bigr), \quad s=\tfrac12(a+b+c)$

2  Konstruktion

  1. Konstruiere den Exkreis gegenüber $A$ (Schnitt der Innen-Winkelhalbierenden von $B,C$ und der Außen-Winkelhalbierenden von $A$). Markiere den Berührpunkt $T_a$ auf $BC$.
  2. Wiederhole den Schritt für die anderen beiden Exkreise, erhalte $T_b,T_c$.
  3. Ziehe die Linien $AT_a, BT_b, CT_c$ – ihr Schnittpunkt ist $Na$.
Konstruktion des Nagelpunktes mithilfe der Exkreise
Abb. 1: Dreieck mit Exkreisen (gestrichelt), Berührpunkten $T_a,T_b,T_c$ und dem Schnittpunkt $Na$ der Linien $AT_a, BT_b, CT_c$.

3  Koordinaten

Mit den Seitenlängen $a=|BC|$, $b=|CA|$, $c=|AB|$ lauten die baryzentrischen Koordinaten

$Na\;=\;(b+c-a :\; c+a-b :\; a+b-c).$

In kartesischen Koordinaten (bei Punkten $A(x_A,y_A)$ usw.) ergibt sich

$ \vec{Na}\;=\;\frac{(b+c-a)\,\vec A + (c+a-b)\,\vec B + (a+b-c)\,\vec C}{2s}. $

4  Wichtige Eigenschaften

  • Nagel-Linie: Inzentrum $I$, Schwerpunkt $G$ und Nagelpunkt $Na$ liegen kollinear. Es gilt $IG:GN = 1:2$.
  • Jede Strecke $AT_a$ teilt den Dreiecksumfang in zwei gleiche Längen.
  • $Na$ ist isotomisch zum Gergonne-Punkt $Ge$ (Kontaktpunkte des Inkreises).
  • $Na$ und das Orthozentrum $H$ liegen auf einem Durchmesser des sogenannten Fuhrmann-Kreises.
Nagel-Linie durch I, G und Na
Abb. 2: Die kollinearen Punkte Inzentrum I, Schwerpunkt G und Nagelpunkt Na bilden die Nagel-Linie.

5  Beispielrechnung

Im Diagramm oben (Abb. 1) hat das Dreieck die Seitenlängen $a \approx 6.40$, $b \approx 5.39$, $c \approx 6.00$.
Damit ist $s = \tfrac12(a+b+c) \approx 8.89$ und $Na$ (baryzentrisch) $= (b+c-a : c+a-b : a+b-c) \approx (4.98:7.02:5.79)$.
Die umgerechneten kartesischen Koordinaten lauten $Na \approx (3.02\,;\,1.63)$.

6  Grafiknachweis

Alle Abbildungen wurden eigens für diesen Artikel mit Python + matplotlib erstellt.