Peter Haider

Der Feuerbachkreis

Der Feuerbachkreis (auch Eulerkreis, Neunpunktkreis oder Mittelpunktkreis) ist einer der bemerkenswertesten Kreise in der klassischen Dreiecksgeometrie. Wie sein Name andeutet, verläuft er durch neun ganz besondere Punkte eines beliebigen (nicht rechtwinkligen) Dreiecks $\triangle ABC$.

1 Die neun Punkte

1. Seitenmitten $M_a,\,M_b,\,M_c$
2. Höhenfüße $H_a,\,H_b,\,H_c$
3. Mitten der Orthozentervektoren $D_a,\,D_b,\,D_c$ – jeweils Mittelpunkt zwischen einem Eckpunkt und dem Höhenschnittpunkt $H$.

Alle diese neun Punkte liegen auf demselben Kreis. (Die kleine App "Apollonius" veranschaulicht den Eulerkreis interaktiv. Kicke hier um App zu starten). Das Resultat wurde in dieser Vollständigkeit erstmals von K. W. Feuerbach (1822) veröffentlicht, die grundlegenden Eigenschaften gehen allerdings auf Leonhard Euler (1765) zurück.

2 Lage des Kreismittelpunkts $N$

Bezeichnet $O$ den Umkreismittelpunkt und $H$ den Höhenschnittpunkt des Dreiecks, so gilt

$\displaystyle N = \frac{H + O}{2}$

– der Schwerpunkt der Strecke $OH$. Das Zentrum des Neunpunktkreises liegt also auf der berühmten Euler-Linie, die durch $O$, den Schwerpunkt $S$ und $H$ verläuft.

3 Radius

Sei $R$ der Radius des Umkreises. Dann besitzt der Neunpunktkreis den Radius

$\displaystyle r = \tfrac{R}{2}$.

Der Halbmesser ist also exakt halb so groß wie der des Umkreises.

4 Berührpunkte (Feuerbach-Satz)

Ein weiterer klassischer Satz lautet: Der Neunpunktkreis berührt sowohl den Inkreis als auch alle drei Ankreise des Dreiecks. Dieser schöne Tangential-Zusammenhang wird als Feuerbach-Satz bezeichnet.

5 Analytische Darstellung

Seien die Eckpunkte in kartesischen Koordinaten gegeben:

$A(x_A,y_A),\; B(x_B,y_B),\; C(x_C,y_C)$.

Dann gilt für das Kreismittel $N$

$\displaystyle N= \bigl(\tfrac{x_A+x_B+x_C+x_H}{4},\; \tfrac{y_A+y_B+y_C+y_H}{4}\bigr)$,

wobei $(x_H,y_H)$ die Koordinaten des Orthozentrums sind. Die Gleichung des Kreises lautet entsprechend

$(x - x_N)^2 + (y - y_N)^2 = \bigl(\tfrac{R}{2}\bigr)^2$.

6 Konstruktionsschritte (klassisch)

1. Zeichne die drei Höhen und ihren Schnittpunkt $H$.
2. Trage die drei Seitenmitten $M_a, M_b, M_c$ ab.
3. Verbinde $H$ mit jedem Eckpunkt und markiere dessen Mittelpunkt $D_a, D_b, D_c$.
4. Bestimme zwei dieser neun Punkte, schlage den Kreis mit entsprechendem Radius; er geht automatisch durch die übrigen sieben Punkte.

Udo Rehle

The Nine-Point (Euler) Circle of a Triangle

The nine-point circle—also known as the Euler circle or Feuerbach circle—is one of the classical gems of triangle geometry. For any non-right triangle $\triangle ABC$ it passes through exactly nine notable points.

1 The Nine Points

1. Mid-points of the sides $M_a,\,M_b,\,M_c$
2. Feet of the altitudes $H_a,\,H_b,\,H_c$
3. Mid-points between the orthocentre $H$ and the vertices $D_a,\,D_b,\,D_c$

All nine lie on one and the same circle. (The small ‘Apollonius’ app illustrates the Euler circle interactively. Click here to start the app). The full result was published by K. W. Feuerbach (1822); the key properties trace back to Leonhard Euler (1765).

2 Centre $N$

Let $O$ be the circum-centre and $H$ the orthocentre of the triangle. Then

$\displaystyle N = \tfrac12\,(H + O)$,

so $N$ lies on the famous Euler line through $O$, the centroid $S$ and $H$.

3 Radius

With $R$ the circum-radius, the nine-point circle has radius

$\displaystyle r = \tfrac{R}{2}$.

4 Feuerbach Theorem

The nine-point circle is tangent to the incircle and to all three excircles of $\triangle ABC$—the celebrated Feuerbach theorem.

5 Analytic Form

With vertex coordinates $A(x_A,y_A),\;B(x_B,y_B),\;C(x_C,y_C)$ and orthocentre $H(x_H,y_H)$, the centre reads

$\displaystyle N = \Bigl(\tfrac{x_A+x_B+x_C+x_H}{4},\; \tfrac{y_A+y_B+y_C+y_H}{4}\Bigr)$,

$(x - x_N)^2 + (y - y_N)^2 = \bigl(\tfrac{R}{2}\bigr)^2$.

6 Classical Construction

1. Draw the three altitudes to locate the orthocentre $H$.
2. Mark the side mid-points $M_a, M_b, M_c$.
3. Join $H$ to each vertex and mark the mid-points $D_a, D_b, D_c$.
4. Any two of these points determine the circle; all remaining seven points are automatically on it.