Dreiecksgeometrie Einleitung

Dreiecke sind weniger drei verbundene Punkte, oder drei Seiten und auch keine drei Winkel (französisch: Triangel), sondern das Wesen eines Dreiecks sind die drei Berührpunkte auf einem Kreis bzw. die drei Kreis-Tangenten!

Dabei liefern aber nicht alle beliebigen drei Kreispunkte mit ihren Tangenten ein Dreieck ( → nächste Abbildung), sondern man muss Bedingungen setzen, die den Kreis zum Dreiecks-Inkreis machen. Diese Auffassung eines Dreiecks liefert nun ziemlich gute Berechnungen am Dreieck, insbesondere auch gerade mit dem zweidimensionalen komplexen Zahlenkörper C statt dem Körper R der üblichen Zahlen! Dazu sollte man einige Tatsachen über die Addition und Multiplikation komplexer Zahlen kennen. Die Addition schein noch ziemlich klar zu sein, denn reell kommt zu reell und der mit i gekennzeichnete Komplexanteil zum Komplexanteil. Die Multiplikation ist eine Drehstreckung, deren Länge ist das Produkt der Faktorenlängen, und der Winkel zur reellen Achse ist die Winkelsumme! Betrachtet man insbesondere nur komplexe Zahlen der Länge Eins, d.h. solche auf dem Einheitskreis, dann hat das Produkt wieder die Länge Eins und liegt immer auch auf dem Einheitskreis! Damit ist die Multiplikation zur reinen Winkeladdition geworden, das heißt also, die Multiplikation ist eine reine Drehung um den Ursprung! Beispielweise ist die Multiplikation mit i eine Drehung um 90 Grad. Die Eleganz der komplexen Multiplikation als Addition der Winkel zur x-Achse bei den moivreschen Formeln ist hier sehr zum Vorteil. Als Beispiel seien die beiden Berührpunkte: $$z_{1} = 0 + i \quad und \quad z_{2} = 0.6 - 0.8i$$ $$Summe \quad z_{1} + z_{2} = 0.6 + 0.2i$$ $$Produkt \quad z{1} \cdot z_{2} = 0.6i + 0.8$$ Doppelte Summe durch Produkt $= 3+i$ $$(0.8 + 0.6i) / (0.6+0.2i) =$$ $$(0.48+0,12 +0.36i -1.6i)/(0.6² +0.2 )=$$ $$(0,6+0.2i)0,4 =1,5 + 0,5i$$ Die Mitte der Verbindung der beiden Berührpunkte (der Schnitt der Diagonalen des rechtwinkligen Drachens) ist der Spiegelpunkt von $z_{3}$ am Kreis. Die Entfernung von der „Ecke“ $z_{3}$ ist also 1 durch sie Entfernung dieses Spiegelpunkts zum Ursprung, denn Das Produkt der Entfernungen von Punkt und Bildpunkt ist im allgemein ja $r^{2}$ und hier mit $r=1$. Als nächstes betrachten wir die grundlegende Tangenten-Konstruktion mit der Polaren, die besonders hervorgehoben werden soll!